如何求值域
求一个函数的值域是数学中常见的问题之一。值域是函数在定义域上所有可能取得的值的集合。在解决求值域的问题时，我们需要确定函数的定义域，并找出函数在定义域上的最大值和最小值。
步骤一：确定函数的定义域
我们需要确定函数的定义域。定义域是指函数可以接受的输入值的集合。对于一些简单的函数，定义域可能是全体实数或者某个区间。但对于一些复杂的函数，定义域可能受到一些限制，比如分母不能为零等。确定定义域的方法包括观察函数的形式、分析函数的性质和解方程等。
步骤二：找出函数在定义域上的最大值和最小值
确定了函数的定义域后，我们需要找出函数在定义域上的最大值和最小值。为了找到最大值和最小值，我们可以使用微积分中的极值定理。极值定理告诉我们，函数在取得最大值和最小值的点上的导数为零或者不存在。我们需要求出函数的导数，并解方程求出导数为零的点。然后，我们可以通过比较这些点的函数值来找出最大值和最小值。
步骤三：确定值域
一旦我们找到了函数在定义域上的最大值和最小值，我们就可以确定函数的值域了。如果函数在定义域上是递增的，那么最小值对应着最小的函数值，最大值对应着最大的函数值。如果函数在定义域上是递减的，那么最小值对应着最大的函数值，最大值对应着最小的函数值。如果函数既递增又递减，那么值域是最小值和最大值之间的所有值。
求值域的核例题
下面是一个求值域的核例题：
例题：求函数$f(x) = frac{1}{x}$的值域。
解：我们需要确定函数的定义域。由于分母不能为零，所以定义域为全体实数减去零点$x=0$。即定义域为$(-infty, 0) cup (0, +infty)$。
接下来，我们需要找出函数在定义域上的最大值和最小值。由于函数$f(x) = frac{1}{x}$在定义域上是递增的，所以最小值对应着最小的函数值。函数在定义域上的最小值为$x=0$时的函数值$f(0) = frac{1}{0}$，但由于分母不能为零，所以函数在定义域上没有最小值。
然后，我们需要找出函数在定义域上的最大值。由于函数$f(x) = frac{1}{x}$在定义域上是递减的，所以最大值对应着最小的函数值。函数在定义域上的最大值为$x=0$附近的函数值。当$x$趋于正无穷时，函数值趋于零；当$x$趋于负无穷时，函数值趋于负无穷。函数在定义域上的最大值为零。
函数$f(x) = frac{1}{x}$的值域为$(-infty, 0) cup (0, +infty)$。
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